一道初中几何题-求正方形内等边三角形的面积

一道初中几何题-求正方形内等边三角形的面积

正方形ABCD内有一个等边三角形CMN， 若正方形的边长为1， 求等边三角形的面积。

解： 既然CMN是个等边三角形， 有CM=CN=MN, 另外正方形CD=CB，所以直角三角形CDM和直角三角形CBN是全等的， 由此得出NB=MD，设NB=x, 根据勾股定理：

此外AN=AM=1-x,

对于等腰直角三角形：

根据等边三角形CM=MN有：

解这个方程：

由此求出：

另一个根因为大于1，所以舍去。

因此：

这里CN不需要直接开方求出， 因为要求的是三角形的面积。

在等边三角形中若边长是x， 那么它的面积为：

这个公式利用等边三角形的高是(√3x)/2, 底边为x,很容易证明出来，对于备考的初中生，应该将其理解后记住，或者是现场直接推导。

将上面的CN的平方带入这个公式：

这就是等边三角形CMN的面积。

根据上面的推导，可知过一个正方形的顶点符合条件的等边三角形只有一个。